Bueno. Parece que lo he solucionado. Os cuento que es lo que he hecho por si a alguien más le pasa.
PROBLEMA:
Parece ser que el problema se encontraba en el administrador de la tarjeta SIM. Yo sólo uso una microSIM en el slot 1. En el 2 tengo una microSD. Al tener sólo una SIM no me ha preguntado nunca que tarjeta quiero utilizar para la conexión a internet, ya que sólo existe una. Al no haber seleccionado que tarjeta quiero usar para la conexión a internet no se conectaba con ninguna. La solución ha sido meter una nanoSIM en el slot 2 y usar las 2 SIM a la vez. Ahí ya si me ha habilitado en el administrador de las tarjetas SIM la opción de seleccionar manualmente que SIM quiero utilizar para cada cosa. Al seleccionar los datos móviles para la SIM 1 se ha conectado sin problemas. Después he extraído la SIM del slot 2, he reiniciado y ya se conecta a la red sin problemas.
SOLUCIÓN:
Si te pasa esto simplemente debes meter 2 SIM en el teléfono y en el administrador de las tarjetas SIM seleccionar los datos móviles en la SIM que uses habitualmente en el teléfono. Una vez que se conecte a la red ya puedes sacar la otra SIM. Para comprobar que funciona sin problemas te recomiendo que una vez que has sacado la otra SIM, reinicies el dispositivo.