No se puede. O sí, pero desde luego los datos que las aplicaciones necesitan los van a buscar en la propia carpeta correspondiente del teléfono, no en una cuenta de Dropbox, ya que depender de Internet para el trasbase de datos entre almacenamiento masivo, RAM y procesador es absurdo por la escasa velocidad de la conexión y las interrupciones que es susceptible de sufrir.
De hecho, ni siquiera por WiFi o cable de red sería factible. Estamos hablando de velocidades muy muy inferiores a las que necesita casi cualquier programa para ejecutarse con una mínima decencia (ya ni hablo ni de fluidez).
Dropbox para subir las fotos y vídeos que vayas haciendo, archivos de música, documentos..., lo que quieras, pero siempre que se use como una herramienta de copia de seguridad o para acceder a archivos en cualquier parte de manera puntual, a través de un móvil o de un ordenador conectado a Internet (lo más recomendable por el tema de las diferencias de velocidad de descarga).
Perdón por el tocho.