Falsa alarma respecto del Bluemail. Ayer ha funcionado a la perfección y esta mañana ya no recibía los correos al instante. Siempre apago el móvil por las noches, así que supongo que con el encendido de esta mañana algo haya cambiado. Además, el tener a Bluemail en "gestionar manualmente" en "inicio de aplicaciones" y en"no se permite" en "optimización de batería" hace que salte el aviso de app con alto consumo de energía.
He vuelto a instalar el Outlook, que con esos ajustes, no salta el aviso de app con alto consumo de energía y funciona más o menos.