Bueno, sólo he conseguido que la app Bluemail me notifique correctamente los correos de mis cuentas de Gmail.
Ni la app de Gmail y ni siquiera la app nativa de Huawei me las notificaba, ya que me enviaba correos desde otra cuenta y tenía que meterme dentro de la app nativa de correo de Huawei para que me entraran. Ni notificación en barra de estado ni notificación en pantalla de bloqueo o Always-On Display.
Nota: Siempre compruebo que las apps q me interesan estén exentas de la optimización de batería y pongo en "gestionar manualmente" su inicio en vez de "gestionar automáticamente" y compruebo todo en el apartado "notificaciones".
Tampoco lo hacía bien la app de Outlook con las cuentas de Gmail configuradas en ella. Tenía que entrar a la app para que me saltaran.
Sólo la app de Bluemail hace que funcione bien todo: notificaciones en la barra de estado, notificaciones en la pantalla de bloqueo y notificaciones en el Always-On Display.