El problema que tienes es que la batería ya no da más , por ello se descarga rápido, deberás conseguir una nueva ORIGINAL o alternativa la PolarCell, no pongas baterías genéricas pues no duran nada y estarás tirando dinero.-
Luego que tengas el móvil con batería nueva verás que no tienes problemas ni con KK ni con Lolipop.
Piensa que el móvil ya tiene mas de tres años y la batería si es la original que traía ya cumplió su ciclo.-