Hola que tal.
Yo tenia ese problema con mi xperia P y hace unos días cambie la batería y todo vuelve a funcionar como antes.
La batería la encuentras fácil por ebay y sustituirla es fácil, si no sabes hay videotutoriales de como hacerlo, tienes que tener paciencia porque esta pegada por detrás pero calentando un poco con un secador de pelo al final sale.
Espero haberte ayudado.
Un saludo.