Es que ni aumentando el presupuesto vas a conseguir nada de lo que buscas.
4000 mAh en un tamaño contenido solo lo ofrecían los viejos Redmi 3 o Redmi 4. El Redmi 4X está aún a la venta en Amazon pero no esperes conseguir ni de lejos el rendimiento o cámaras de un Note 5. Si aumentas el presupuesto a 300€ y renuncias a algo de batería y a MIUI, tienes el LG G6. Pero ya son muchos compromisos.
Yo actualmente estoy con un Mi 5, precisamente porque no hay móvil compacto mejor que este que no cueste un riñón. A ver si el año que viene sacan alguna cosa, pero no me haría demasiadas ilusiones. Sony y Apple son los únicos que siguen sacando móviles compactos por ahora.