Tengo un Galaxy S10 y siempre tengo activado el bluetooth, ya que tengo un reloj Garmin y siempre está monitorizando.
Al final me he acostumbrado a que el icono no salga, es cuestión de tiempo el acostumbrarse.
Y en cuanto a si el Bluetooth gasta o no batería si está activado, leí hace tiempo que no gasta si no está vinculado con otro equipo.