Bueno, pues he dado con la solución. Al menos en mi caso.
Lo pongo por aquí por si a alguien le sirve.
Sólo hay que eliminar las APN y volverlas a introducir manualmente con los datos que facilita el operador, en mi caso Pepephone.
Hay que ir a Ajustes > WiFi y redes móviles > SIM y red > SIM1 (o la que tengáis activa) > Nombres de puntos de acceso > Entráis en el (o los) que tengáis y en los 3 puntitos le dais a eliminar. Luego le dais al símbolo + y ańadís manualmente los datos del nuevo punto de acceso, que suelen estar en las webs de las operadoras.
Con esto ya estaría solucionado. Ya se pueden instalar todas las actualizaciones de las apps de Google y navegar sin problemas con datos móviles.
Espero que con esto podáis resolver el problema los que lo tengáis.
Saludos.