Estoy taaaaaan contenta.....taaaaan contenta.
Era la batería. Claro, era la original del 2014 y ya tocaba. He comprado una en Amazon (porque la de Aliexpress no llega no llega...) y el móvil funciona sin problemas. Qué flipe con el Note 3 jajajaja.
A petición de Pakonan, añado enlace con la batería que compré (la compra "todios" en Amazon y aunque a mí me parece algo carillo parece que funciona bien):
https://www.amazon.es/gp/product/B01...?ie=UTF8&psc=1