Vamos a ver. Sí te vas a sincronizacion, allí puedes añadir una cuenta de google, que va hacer que la apps de gmail te actualice el correo de firma push.
Sí no añade ninguna cuenta de google y te vas a la aplicación de correos del Sense, que no es la de gmail, y allí configura una cuenta con tus datos de gmail, tendrás el correo es la apps de Sense donde podrás establecer la frecuencia de actualización, y así pasar de la app de gmail que es push.
Yo no utilizo la app de correo del Sense, no me gusta. Tengo añadida una cuenta de gmail en sincronizacion para tener de esa cuenta push con gmail, y para las demás utilizo el K9