Es lo que tiene esa aplicación: Que desactiva la conexión a internet para ese tipo de aplicaciones. Así ahorra la batería.
En teoría, conecta cada x minutos durante un ratillo, de forma que las sincronizaciones se puedan hacer, pero a veces se hacen en ese rato y a veces, no. Si necesitas o quieres tener el correo al instante, por ejemplo, desinstalala, que la batería dura sin problema de la mañana a la noche y que el móvil se pase la noche conectado al cargador... No hay que complicarse más normalmente.
Una cosa: Desactiva la opción de ahorro de batería antes de desinstalar el programa: yo no lo hice y me quedé sin los datos del apn