Supongo que lo que dices es que, en los tres diferentes clientes de correo has configurado la misma cuenta de GMail. Cada cliente tiene su propia "base de datos" de correo, y no es compartida. Así que, si cada uno tiene la cuenta configurada, pues cada uno se hace con una copia del servidor GMail, y de ahí las tres notificaciones que recibes. Será cosa que te decidas cuál cliente quieres, y te quedes con ese.
Entiendo que, por la filosofía de Android de basar sus servicios en tu cuenta GMail, deberás dejar la cuenta configurada en la aplicación nativa. Si tienes otras cuentas, podrás utilizar los otros clientes.
Aprovecho el hilo para preguntar: ¿Alguien ve correctamente (HTML) los correos de Hotmail? Yo utilizo el GMail para la cuenta principal. Con correo tengo otra cuenta GMail por IMAP, Yahoo por IMAP, y Hotmail por POP.
Todos los correos los veo correctamente, menos los de Hotmail (En el mensaje veo toda la codificación HTML mas el texto, pero no logro ver imágenes). Lo bueno es que, al menos, me entero que tengo correo, pero para verlo bien tengo que ir al ordenador.
Espero haberte ayudado, y ojalá alguien pueda ayudarme.
Saludos.