Va una descripción lo más light posible.
Busybox es un paquete estándar con varias funciones de linux, que hacen más fácil para las apps que lo requieran realizar procesos (por lo general, procesos root).
Como sabrás, cada marca de móviles / operadora le mete y quita cosas al sistema android. Busybox da la posibilidad a las apps de usar los mismos comandos sin tener que variar por operadora, móvil ó rom, es como una navaja suiza.