Pues como dice, si lo configuras por días se te descargan al móvil los correos de los, por ejemplo, tres últimos días. Y tal que van pasando los días los correos que pasan del tercer al cuarto día se borran.
Lo mismo por cantidad, si pones 20 correos pues siempre tendrás en el móvil los últimos 20 correos.
Si te llega un correo nuevo te aparece una notificación en la barra superior (siempre que lo tengas configurado así).