Hola
Te hablo de la tehoria ya que no uso ese gestor actualmente.
El gestor de correo lo que hace es bajar una lista de los mensajes que tienes y cuando los abres te muestra el contenido, pero no lo descarga a tu telefono.
Si quieres que este disponible sin conexion, tienes que descargarlo, en la app de gmail se hace dandole a archivar y en la que comentas creo que hay un boton que pone descargar. De esa forma si se descargara del servidor a tu telefono y lo tendras disponible sin conexion.
Imagino que en opciones de configuracion tendra alguna para que se descarguen automaticamente, con el consiguiente gasto de datos y de espacion en la sd
Saludos