A mi me ha estado pasando lo mismo, se encendía e inmediatamente se apagaba. Ha sido con un Xperia.
Lo he solucionado de la siguiente manera y gracias a los consejos leídos anteriormente:
Le he quitado la tarjeta SIM y el Wifi se lo he desactivado, así como el bluetooth (por si acaso). A la siguiente vez que se encendió se mantuvo sin apagarse y le desinstalé las dos últimas app que le instalé hacía dos días.
He vuelto a ponerle el Wifi y la tarjeta SIM con internet de Vodafone y ya no se ha apagado más.
Nota: El Wifi me costó desactivarlo porque apenas daba tiempo ya que se apagaba de inmediato, pero lo conseguí a la tercera vez. No probé apagar el ruter.
Espero haber podido ayudar a otro forero.
Saludos.