Muy buenas Blademaner
Normalmente tengo siempre la página de Gmail abierta en el ordenata y me suelo enterar de que me llega un correo antes por la Hero que por el ordenador...
Ya si me dices que llega antes al ordenador si le estás dando al F5... pues seguramente, pero en el día a día funciona de lujo.
Otras cuentas que configures ya tardarán dependiendo del tiempo que les pongas de refresco. Otra opción es que las configures para que reenvien los correos la de Gmail.... eso ya va por provincias y preferencias de cada uno