El mío también se calienta al estar usándolo, aunque solo si estoy con 3G activado y me pongo a navegar o hacer algo que requiera conexión de datos. Luego también se calienta cuando juego y hago cosas algo más exigentes. Antes que este Lumia tuve otro que se calentaba mucho más y solicité el cambio. Por lo demás lo tengo prácticamente siempre en 2G y me suele aguantar el día siempre que no me "pase" con el WhatsApp o con algún juego exigente...
Eso que comentas me ha pasado un par de veces, que lo dejo por la noche con cierta cantidad de batería y sin tocarle en absoluto me encuentro que por la mañana está apagado y totalmente agotada. No se a qué puede ser debido pero de vez en cuando lo hace, espero que sea solucionado con alguna actualización (no se si es causa del sistema o de alguna aplicación de terceros que tenga instalada).