Yo no estoy muy a favor de llamar aplicacion a un WebView pero weno.., de todas maneras es la forma mas rapida de hacer una "aplicacion" multiplataforma.
Sunpongo que la colocacion del boton compartir no te queda mas remedio que aņadir un nuevo Tab o crear un menu que al pulsar la tecla fisica menu del movil te aparezcan mas opciones.
He estado probando la app y no se como lo habras hecho pero supongo que se podria crear un AsyncTask que nada mas abrir la app cargue todas las pestaņas mientras se ve un mensaje de cargando.