a mi tambien me ha pasado eso siempre con la de hotmail (al final la quite) ahora me he puesto una que se llama outlook (es de los mismos creadores) y me pasa exactamente lo mismo.. me come la bateria la dichosa app..
he estado investigando por internet y he leido que no puedes poner esta app en push porque esta constantemente enviandote datos (aunque tu no lo veas) y te gasta bateria.. asi que lo he puesto que se actualize cada hora.. probare a ver si es cierto