Me pasa exactamente el mismo problema que a ti con mi Nexus 4, si llevo un buen rato con wifi, por ejemplo toda la noche, a la mañana siguiente al salir de casa no tengo internet en el movil, y hasta que no reinicie o ponga el modo avion no consigo volver a tener internet, es bastante frustrante.
Yo tengo movistar tambien. Estoy esperando la sim de tuentimovil, pero por lo que veo seguiré teniendo el mismo problema... ¿has conseguido averigüar algo?