A ver si os sirve de algo la prueba que he hecho hoy que es independiente del tema del wifi. No creo que sea muy concluyente, pero quien sabe si a alguien le puede servir. Os pongo en antecedentes:
He usado un Nexus One, rom cyano 7.2. RAM libre 216 de un total de 405 MB (o sea que para esto, sobrado de espacio) y le he puesto un widget que te indica las aplicaciones que tienes activas (por ejemplo: Elixir)
Abro el whatsapp y después vuelvo al escritorio. Efectivamente el widget me indica que hay una aplicación abierta y confirmo que es el whatsapp. Apago la pantalla y al rato cuando la vuelvo a encender el widget me indica que hay 0 aplicaciones abiertas

Por falta de espacio no es, no tengo nada instalado en este teléfono, o sea que la ha cerrado porque le ha salido de los huevos.
Repito la prueba con idénticos resultados. Si pruebo a mandar un whatsapp tarda en recibirlo.
Prueba 2.- Abro whatsapp y en lugar de darle al botón de retroceder, le doy al home para volver al escritorio. Apago la pantalla y lo dejo. Cuando vuelvo a encender la pantalla esta vez sí que me aparece el whatsapp como aplicación abierta. Haciendo la prueba de esta manera si mando un mensaje llega al momento.
Conclusión en este caso en concreto: Si salgo de la aplicación con la tecla de retroceder, me la cierra. Si salgo con el botón home, no.
Mañana podré probar a hacer esta prueba con el router malo a ver qué pasa. Y Amberyl, a ver si me acuerdo y te miro también el modelo de router neutro para cuando confirmes que tu problema es ese.
