He restaurado la tablet a valores de fábrica para ver si se soluciona el consumo excesivo de batería y he vuelto a instalar la tienda de amazon apps. Ya no tengo que loguearme cada vez que entro.
No sé si es que en ese tiempo amazon ha actualizado la aplicación. La versión que tengo instalada y que funciona correctamente es la 4.0.634.0
Edito: mi gozo en un pozo. Al cabo de un rato se ha deslogueado la tienda de amazon :-(