Lo de la fecha de cumpleaños, es algo raro, a mi me sincroniza perfectamente.
Respecto a lo de los grupos, a mi me pasa lo mismo, parece que en el movil no es capaz de asignar a los contactos a los grupos "estándares" de Gmail (Familia, Amigos,..). Sin embargo, los pase a grupos creados por mi en Gmail (Familia_, Amigos_,...) y se reconocieron perfectamente los grupos en la Hero.
Espero que te sirva de ayuda.