Por si a alguien le sirve, leí esto en otro foro y ya me funciona bien. Simplemente hay que desinstalarlo pero accediendo primero a "Ajustes/Aplicaciones" y en Skype pulsar "Borrar datos". Después se desinstala desde esa misma pestaña y no desde Google Play (primero "Forzar detención" y luego "Desinstalar") tras lo cual se vuelve a descargar y a configurar.
A mi ya me extrañaba que hacía tiempo que en el teléfono tardaba muuuuuucho desde que conectaba (y hacía el sonidito típico) hasta que me mostraba la lista de contactos, cosa que en el tablet no me ocurría y lo hacía casi instantáneamente. Ahora ya lo hace bien y no se me cierra.
Espero que a alguien le sirva de ayuda.