Problema solucionado. Finalmente utilicé una aplicación llamada
USB/BT Joystick Center 6. Cuesta tres euros y medio pero vale la pena, no solo he sido capaz de utilizar el mando inalámbrico de la Xbox 360 sino también uno estándar USB que tenía de hace años, asignando yo mismo los bits correspondientes a cada botón y joystick. Hay que dedicarle bastante tiempo para aprender configurarlo (el de la Xbox 360 ya lleva controlador configurado), pero los resultados son magníficos. Una maravilla.