No tiene mucho que ver.
Dropbox sincroniza una carpeta con un espacio en la nube, y Airdroid entre otras cosas lo que hace es pasar via Wifi (por red, no a través de internet) archivos al telefono
Sirve para gestionar tu telefono desde una página web remotamente, ver las apps instaladas, la tarjeta, los mensajes, fotos, videos.
Yo sinceramente lo recomiendo:
http://airdroid.com