Buenas, a ver, yo el de la tablet no lo uso como te decía en el otro correo uso el kaitenmail que tiene cosas que me son necesarias, como que cuando envío un mail mando CCO a mi mismo.
Si quieres usar la aplicación de la tablet y que todo lo que haces se quede reflejado en tu servidor de correo lo mejor es configurar la cuenta con servicio IMAP, porque? cuando lees el correo mediante IMAP estas actuando directamente sobre el servidor de correo, el correo que leas se pone como leído, si lo eliminas se elimina (sin tener que poner mas configuraciones), si envías un correo se te queda en tambien en la carpeta de enviados del servidor. Yo creo que esa es la mejor opción para ti.
Si quieres configurarlo por POP o no puedes hacerlo por IMAP pues tienes que ir a ajustes luego a la configuración de la cuenta y configurar que elimine el correo del servidor.
La aplicacion que dicen por aqui K9 Mail tambien está bien pero me gusta mas la kaitemail (aunque es de pago), tambien tienes maildroid que es muy buena y tienes version gratis y de pago.
Si tienes mas dudas ya sabes
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Saludos.