Puede ser tema de que no tengas activado que no se desconecte la WIFI o los datos cuando la pantalla esté apagada.
Comprueba que tienes activado estas dos cosas:
Wifi: Ajustes---->Conexiones Inalámbricas---->Ajustes de Wifi: Botón de opciones del móvil--->Avanzado--->Política de Suspensión de Wifi, y marcas "NUNCA".
Datos: Ajustes---->Conexiones Inalámbricas---->Redes Móviles---->Y activas la opción "Habilitar los datos móviles en forma permanente" (que no es que te vaya a tener siempre encendidos los datos, sino que, cuando tú los enciendas a voluntad, no se apagarán solos al rato de no usar el móvil)
Por otra parte, las aplicaciones de correo, etc, suelen tener opciones de configuración (accediendo a ellas desde el botón de opciones del móvil, una vez que estés dentro de cada aplicación) para que selecciones el tiempo mínimo de chequeo de novedades. Mira a ver si tienes tiempos demasiado largos (por ejemplo, si al email le tienes puesto que lo mire cada hora, en vez de cada 10 minutos)