Las notificaciones estan sujetas a la configuración de cada gestor de correo. Que yo sepa, no puedes desviar todas las notificaciones a un solo conducto. Digamos que no puedes hacer un efecto embudo.
Gmail notifica por su cuenta los correos que recibe, el gestor de cuentas pop lo hace asi mismo, y si tienes instalado el K-9 por ejemplo, tambien te notificará de manera independiente.