Sí, es normal que no encienda hasta que ha recargado algo de batería (es posible que sea el 1%, nunca lo he comprobado) pero lo que no es normal es que tarde 10 minutos en cargar al 1%.
A mí me ha pasado alguna vez y en 30 segundos, más o menos, ya puedo encenderlo.
¿Utilizas un cargador lento?, si no es así, revisa el cargador o prueba con otro.
Si con un cargador rápido sigue fallando puede ser problema del conector de carga, de la batería, etc.