Gracias por responder
El problema al final era por las últimas actualizaciones de Windows 11. Al menos en mí unidad han echo verdaderos estragos.
Le he metido una instalación limpia con Windows 10 Home y va ahora bien. Y carga la batería mientras lo usas sin sobrecalentamiento.
Así que solucionado por ahora.
En PcComponentes pregunté y ... parece ser que no, no hay laptops con baterías extraíbles.
Seguramente habrá alguna marca que por software puedas controlar el sistema de carga mientras se usa enchufado, pero por ahora no lo sé.
Saludos!