Sigo investigando y creo que el problema es de miui, no de las apps de despertador que pueda instalar.
Esto es, si apago el despertador del sistema, e instalo otra app, esta suena aunque esté puesto el modo "no molestar" hasta aquí todo bien.
El problema es que cuando el móvil se enciende por la mañana, el reloj se queda en la hora a la que se encendió, y no se actualiza hasta que pongo el pin de la tarjeta sim (aunque haga 4 horas que se ha encendido) así que para la app de alarma, nunca llega la hora de despertarme.
Ahora no sé cómo hacerlo para que el móvil se encienda y la alarma suene porque el reloj no empieza a contar