Yo te puedo contestar al punto 1. La aplicación que uso para el correo, 3 cuentas, es AquaMail y se sincroniza perfectamente. Como te dice el compañero tiene que ser un problema de permisos para funcionar en segundo plano, no optimizar el uso de batería y bloquear la aplicación en recientes. Así tengo yo configurada AquaMail y sin problemas