Bueno, pues acabo de instalar la versión 20.18.17 desde ApkMirror, concretamente ésta:
https://www.apkmirror.com/apk/google...-apk-download
Y se ha actualizado y no me ha saltado ningún error ni nada. Funciona todo lo de Google: Play Store, Maps, etc etc
He vuelto a instalar Gmail para probar y nada, no salta notificación, hay que entrar dentro de la app para ver los correos nuevos.