No entiendo bien tu mensaje... Apago el móvil todas las noches y lo vuelvo a encender a la mañana siguiente y nunca me funcionó Gmail como comentas, tenía que entrar dentro de la app para que me entraran los correos y nunca me notificó nada.
¿Quieres decir que si vuelvo a instalar Gmail, apago el móvil y luego lo vuelvo a encender empieza a funcionar como siempre durante un rato y luego vuelve a dejar de funcionar?