Vale, ya he dado con ello. De hecho estaba haciendo lo que algunos comentáis, conectar el móvil sin Kies y activando esa opción especial en las opciones...
La cosa es que, como veía que al enchufar el Galaxy al PC, aparecían dos unidades pero con el mismo nombre, pensé que (no me preguntéis por qué) se trataba de la misma unidad de almacenamiento duplicada; pero no, se trata efectivamente de 1) el propio móvil, 2) la tarjeta microSD.
También he visto que hay otra forma de hacer esto, y es yendo a ajustes --> conexiones inalámbricas --> utilidades de USB --> Almacenamiento masivo USB. Y ahí pulsar el botón "conectar almacenamiento al PC". Te pide que enchufes el cable y et voilá.
Lo curioso de esto es que para que funcione de esta otra manera, el sistema te pide expresamente que desactives la opción de desarrollador, en el ajuste de aplicaciones. Y si aparentemente hacen lo mismo, no sé a qué se debe esto.
Desde luego, y hablando de la tarjeta microSD, no entiendo por qué han diseñado el teléfono de forma que no puedas insertar/ sacar la tarjeta si no es quitando primero la batería. WTF!