No sé si te servirá, yo mi problema era que solo recibía los correos de la bandeja principal, y todo venía a que en ajustes de gmail, entras en la cuenta, y busca la opción "administrar etiquetas" ahí veras que la bandeja principal pone sincronozar últimas 60 días, pero la de notificaciones no, por lo que los correos que entren a esa bandeja solo lo recibiras cuando accedas a la app. Tienes que cambiar a últimos 60 días o lo que prefieras.