GMail es push y sincroniza perfectamente con el servidor (leídos y borrados)
La aplicación de Correo ya es otra historia... hay por ahí un tutorial para ponerlo como Exchange que se supone que es push, pero creo que no iba bien del todo. Si no recuerdo mal, es del compañero @
NeoCimek, él sabe más de esto
Para sincronizar con el servidor: Menú-Ajustes-Enviar y recibir-Sincronizar elementos borrados y Borrar correo del servidor
Salud!