Es posible que Android cierre la aplicación cuando está en segundo plano o con la pantalla del teléfono apagada y por eso no notifique cuando llega un mensaje. Si ese es el problema tienes que permitir que se auto inicie la aplicación automáticamente y que se ejecute en segundo plano sin cerrarse.
Dependiendo de la capa de personalización de la marca del teléfono se hace de una forma u otra. Por ejemplo, en los Xiaomi com Miui es en seguridad, administrar aplicaciones, y ahí se dan permisos de inicio automático y de iniciar en segundo plano.
