Me respondo a mí mismo.
Resulta que, por algún motivo desconocido, no podía copiar archivos ni carpetas directamente del móvil antiguo al nuevo (teniendo los 2 conectados simultáneamente al PC). Sin embargo, sí que puedo copiar del móvil antiguo al PC y del PC al Mi6.
No sé si será algún problema de drivers o de uso simultáneo de los puertos USB. En cualquier caso, aunque sea en 2 pasos, puedo resolver el problema de la transferencia de archivos.