Las descargas completas les sientan muy mal a las baterías, si se descargan demasiado cortan el voltaje por seguridad y ya no son capaces de reanimarse salvo que se les fuerce a hacerlo con una fuente de alimentación pero ya fuera del teléfono.
El comportamiento que dices es típico de un problema con la batería, yo empezaría por cambiarla que es lo más fácil de comprobar. Si no es la batería ya nos vamos a un posible problema en la placa base, que ya sería más complicado. También decir que desmontar este modelo tiene su complicación y hay que tener algo de experiencia o hay riesgo de fracaso total.
Suerte