Buenas, lo del anuncio que salte de repente pasado unos segundos piénsalo bien porque probablemente vaya en contra de los términos de uso del proveedor de publicidad y de la propia Play Store. Aun así, si insistes, puedes usar el
CountdownTimer de Android
Sobre el sistema de logros, tu duda realmente es cómo almacenar información. En la documentación de Android te explican muy bien las
distintas opciones, si no quieres complicarte la vida usa las preferencias o SharedPreferences. Por ejemplo guardando un atributo boolean con el nombre del logro y el valor true cuando se consiga.