A mi mujer también le ha pasado lo mismo después de cambiar la contraseña de una de sus cuentas.
Sus cuentas funcionan perfectamente si entras desde la web o desde el pc, pero desde el móvil le sale un mensaje que dice "ha sido imposible conectar con el servidor".
Yo sé lo he solucionado desde la cuenta de gmail vinculando sus 2 correos de hotmail que son los que utiliza. El problema es que en gmail las cuentas vinculadas tienen que estar sincronizadas cada cierto tiempo por lo que el gasto de batería es mayor. En la aplicación nativa de correo se puede configurar la sincronización cuando la abres, ahorrándote el gasto de batería que hace gmail cada 15, 30 ó 60 minutos.