Actualizo. Outlook tampoco me notifica automáticamente lo correos. Así que supongo que no es exclusivo del HD Widgets.
¿Como teneis vosotros el ahorro de batería y demás, que pueda afectar a la sincronización?
Edito.
Creo que ya está arreglado. Culpa mía. No le había dado permisos para que se iniciasen automáticamente. He caído en la novatada de la versión.