Mira el tema de los permisos de la app de gmail, un amigo tenia problemas con el calendario y era culpa de que la app de calendario de google no le había dado permisos en leer los calendarios y por eso no le sincronizaba ningún calendario, de echo en cuentas daba error el sincronizar calendario por eso.
Ves a Seguridad -> Permisos -> Busca la app de gmail y mira si tiene algo bloqueado.
Luego ves a Configuración del mòbil -> Otras cuentas -> Google -> Selecciona tu cuenta -> Comprueba si la sincronización del Gmail esta activada o da algún error.