Me auto-respondo, por si a alguien le pasa:
Llevo dos días con este asunto y después de buscar y buscar por varios foros por fin he encontrado la solución.
Por alguna razón se me había deshabilitado la opción "conectar como dispositivo multimedia".
El problema era encontrar la opción. Pues bien, está en: Ajustes -> Almacenamiento -> (tres botones verticales de la esquina superior derecha) -> Conexión USB al ordenador -> conectar como dispositivo multimedia.
Creo recordar que en otras versiones de Android, si esta opción estaba deshabilitada, cuando conectabas el cable USB te salía automáticamente esta pantalla de opciones para poder habilitarla, pero en este caso no, simplemente conectaba el cable y no hacía nada, por eso mi preocupación.
Pero bueno, solucionado, si a alguien le pasa lo mismo, ya sabe lo que hay que hacer.