Al final ya está todo solucionado. He probado con Titanium Backup y estoy empezando (es una app complicada y con muchas opciones).
Lo que no me gusta es que haga una restauración de todos los datos, pues de ese modo el móvil volverá a tener el caché y demás de hace tiempo. Por ello he investigado un poco y he visto que la configuración del WhastApp (la app que me interesaba ya que envía un sms al ser configurada) se puede guardar y así evitar tener que volver a configurarla.
El truco es copiar las carpetas siguientes: /data/data/com.whatsapp/shared_prefs y /data/data/com.whatsapp/files y luego copiarlas en el sistema de nuevo. De esta forma evitamos el sms de configuración del WhatsApp. Espero que os sirva.
