No. No se puede.
Te tocará usar otro gestor de correo. Con la aplicación por defecto no hay manera de recibir notificaciones push.....

Salvo crear un cuenta de iCloud mandar ahí el correo de gmail y tu recibir ese correo desde esa cuanta y no la de gmail..... Y no se si tocaría pagar una cuenta de gmail incluso en ese caso.

Sea como sea, usar otra aplicación es la mejor opción